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NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS

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SERIEI TERTIAE VOL. I.

DESALIAE

EXCUDIT C. A. LEFFLER REG. ACAD. TYPOGRAPHUS.

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REGIA SOCIETAS SCIENTIARUM UPSALIENSIS.

PRAESES ILLUSTRIS

SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS OSCAR FREDERICUS

SVECIAE ET NORVEGIAE PRINCEPS HAEREDITARIUS OSTROGOTHIAE DUX.

MEMBRUM HONORARIUM PRIMARIUM SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS NICOLAUS AUGUSTUS

SVECIAE ET NORVEGIAE PRINCEPS HAEREDITARIUS DALEKARLIAE DUX.

Membra Honoraria.

TROLLE WACHTMEISTER (Hans Gabriel), Comes, e Regni Proceribus unus, Justitie quondam Cancellarius, Regiorum Ordinum Eques et Com-

mendator.

LÓWENHJELM (Gustavus), Comes, e Regni Proceribus unus, Legatus Sa- cre Regie Majest. Extraordinarius, Dux Generalis, Regiorum Ordinum Eques et Commendator, Reg. Ord. Ensiferor. in CL IL Eques nec non de S. Olavo, cum grandiori Crucis insigni, Commendator, Ordd. Imper. S. Ame in Cl L et S. Wladimiri in Cl. IL. Ord. Reg. de Aquila Rubra in Cl. L Eques, cet. |

VI

IHRE (Albertus Elavus), Lib. Baro, e Regni Proceribus unus, Rerum exter- narum a. h. Minister Status supremus, Regiorum Ordinum Eques et Com- mendator, Reg. Ord. de S. Olavo, cum grandiori Crucis insigni, Rege. Ordd. Danebrog., Isabelle Catholicæ, S. Mauritii et Lazari, S. Stanislai, Leopoldi Belgici, Grec. de S. Salvatore, cum grandiori Crucis insigni, Commendator. l

FÂHRÆUS (Olavus Immanuel), Status a. h. Consiliarius, Præfecturæ Gotho- burgensis et Bahusiæ Gubernator, Reg. Ord. de Stella Polari, cum gran- diori Crucis insigni, Commendator.

AGARDH (Car. Adolphus), S. Theol. Doctor, Dioeceseos Carolstadiensis Or- dinumque Regiorum Episcopus, Reg. Ord. de Stella Polari, cum grandio-

ri Crucis insigni, nec non Reg. Ord. Danebrog. Commendator, Academiæ Svecanæ Octodecimvir.

STIERNELD (Gust. Nic. Algernon Ad.), Lib. Baro, e Regni Proceribus unus, Rerum externarum Minister Status supremus, Regiorum Ordinum Eques et Commendator, Reg. Ord. de S. Olavo cum grandiori Crucis insigni nec non Reg. Ord. Elephantini Eques cet.

SPARRE (Gust. Ad), Comes, e Regni Proceribus unus, Rei Judiciariæ Mi- nister Status supremus, Regior. Ordinum Eques et Commendator, Reg. Ord: de S. Olavo, cum grandioris Crucis insigni, Commendator.

BESKOW (Bernhard. von), Lib. Baro, Philos. Doctor, Regiæ Aulæ Marechal- lus, Academiæ Octodecimvir et Secretarius, Regg. Ordd. de Stella Po- lari, cum grandiori Crucis insigni, nec non Danebrog. Commendator, Le- gionis Honoris Eques.

TAMM (Petrus Adolphus), Lib. Baro, Officinze ferrariæ Possessor, Reg. Ord. de Wasa, cum grandiori Crucis insigni, Commendator, et de Stella Polari Eques.

REUTERDAHL (Henricus), S. Theol. Doctor, a. h. Consiliarius Status, E- piscopus Dioeceseos Lundensis, Academizque Procancellarius, Reg. Ord. de Stella Polari Commendator.

MANDERSTROM (Ludovieus), Lib. Baro, Cubicularius Regius, ad aulam Cæ- sar. Austriacam Legatus E. O., Regg. Ordd. de Stella Polari et de S. O- lavo Commendator, Regg. Ordd. de S. Salvatore, de Danebrog. cum gran- diori Crucis insigni Commendator cet. -

KR ÆMER (Robertus Fredericus), Lib. Baro, Gubernator Uplandiarum, Reg.

Ord. de Stella Polari, cum grandiori Crucis insigni, Commendator nec non

Ord. Ensiferor. Eques.

Vil

Membra Ordinaria.

BREDMAN (Johannes), Astronomiæ Professor Upsaliensis emeritus, Eques Reg. Ord. de Stella Polari.

LAGERHJELM (Petrus), Regii Collegii Metallici Assessor, Eques Reg. Ord. de Stella Polar.

HANSTEEN (Christoph.), Matheseos Professor Christianiensis, Eques Reg. Ord. de Stella Polari, Regg. Ordd. de S. Olavo, cum grandiori Crucis insigni, nec non de Danebrog. Commendator, Legionis Honoris Eques.

WALMSTEDT (Laur. Petr), Chemiæ Professor Upsaliensis, Eques Reg. Ord. de Stella Polari.

SCHRÓDER (Joh. Henr), S. Theol. et Philos. Doctor, Historie et Archæo- logiæ Professor Upsaliensis, Bibliothecarius Academiæ, Præfectus Nummo- phylacü, Regg. Ordd. a. h. Historiographus, de Stella Polari et Danebrog. nec non de S. Salvatore Grac. cum aurea Cruce, Eques.

HWASSER (Israël), Med. et Philos. Doctor, Medicine Professor Upsaliensis emeritus, Reg. Ord. de Stella Polari et de S. Wladimiro in Cl. IV. Eques, Academie Svecane Octodecimvir.

FRIES (Elias), Oeconomiæ practice Professor Upsaliensis, Reg. Ord. de Stella Polari Commendator, Ord. Danebrog. Eques, Academie Svecane Octo- decimvir, Reg. Societatis Secretarius.

EKSTROM (Car. Udalr.), Pastor et Præpositus Tjórnensis in Dioecesi Gotho- burgensi, Reg. Ord. de Stella Polari Membrum.

SVANBERG (Adolphus Ferdinand.), Physices Professor Upsaliensis, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

RETZIUS (Andr. Adolph.), Med. Doctor, Anatomie Professor Holmiensis, Regg. Ordd. de Stella Polari et Danebrog. Eques.

HEDENBORG (Joh), Med. Doctor et Professor, Consulatus Svec. et Nor- veg. in Alexandria Secretarius, Regg. Ordd. de Stella Polari et de Wasa Eques.

NILSSON (Sveno), Hist. Nat. Professor Lundensis, Membrum Heg. Ord. de Stella Polari nec non Regg. Ordd. de Wasa et Danebrog. Commendator.

GYLLENSTJERNA (Nic. Christoph.), Lib. Baro, Cubicularius Regius, Reg. Ord. Ensiferor. Eques.

LÆSTADIUS (Laur. Levi), Pastor Ecclesie Karasuando Lapponiæ.

TORNBERG (Car. Joh), LL. OO. Professor Lundensis.

SVANBERG (Gust), Astronomiæ Professor Upsaliensis.

VIII

MALMSTEN (Car. Joh.), Matheseos Professor Upsaliensis, Reg. Societatis Questor.

WREDE (Fabian. Jacob.), Lib. Baro, Rei Tormentariæ Præfectus Generalis, Regg. Ordd. Ensiferor., Danebrog., Legionis Honoris, S. Joh. Hierosol. cet. Eques.

SELANDER (Nic. Haqu.), Reg. Acad. Scientiar. Holmiensis Astronomus et Professor, Reg Ord. de Stella Polari nec non de S. Anna in CI. II. Eques.

BJORLING (Immanuel Gabr.), Matheseos Lector Reg. Gymnasii Arosiensis.

MOSANDER (Car. Gust.), Pharmac. et Chem. Professor Holmiensis, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

SUNDEWALL (Fredericus), Med. Doctor, Anatomie et Physiologie Profes- sor Upsaliensis.

GLAS (Olavus), Med. Doctor, Medicine Professor Upsaliensis.

WALLQUIST (Elavus), Med. et Philos. Doctor, Chemiæ Professor Upsali- ensis, Reg. Ord. de Wasa Eques.

WAHLBERG (Petr. Fred.), Med. et Philos. Doctor, Hist. Nat. Professor Holmiensis, Reg. Acad. Scientiar. Holm. Secretarius, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

ARESCHOUG (Joh. Erhard.), Oecon. pract. Adjunctus Upsaliensis.

NORDSTROM (Joh. Jac.), Jur. Utr. et Philos. Doctor, Professor, Regni Archivarius, Reg. Ord. de Stella Polari nec non de S. Wladimiro in Cl. IV. Eques.

CARLSON, (Fred. Ferd.), Histor. Professor Upsaliensis.

SVANBERG (Laur. Fred.), Philos. Doctor, Chemiæ Professor Upsaliensis, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

HUSS (Magnus), Med. Doctor, Med. Professor Holmiensis, Reg. Ord. de Stella Polari Commendator, Ord. Reg. Caroli XIII. et Danebrog. Eques.

HILL (Car. Joh.) Matheseos Professor Lundensis.

ANGSTRÓM (Andr. Joh.), Astronomiae Observator Upsaliensis.

SUNDEWALL (Car. Joh.) Musei Zoologici Holmiensis Praefectus, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

KNOS (Andr. Er.), Theol. Doctor, Primar. Theol. Professor et Archipraeposi- tus Üpsaliensis, Reg. Ord. de Stella Polari Membrum.

BÔTTIGER (Car. Wilb.), Litterar. Recentior. Professor E. O. Upsaliensis, Reg. Ord. de Stella Polari et de Danebrog. Eques, Academiae Svecanae Octodecimvir. |

UPPSTRÓM (Andr.), Lingu. Goth. Docens, Scholae Cathedralis Upsaliensis Adjunctus.

IX Adjunctus.

MARKLIN (Gabriel), Reg. Societ. Bibliothecarius et Musei Praefectus.

Amanwuensts.

THENGBERG (Petr. Adrian.), Philos. Magister.

Socii Exteri.

FABRE (M. C), pontibus aggeribusque publicis in Gallia Praefectus. HUMBOLDT (Alexander von), Lib. Baro, Regi Boruss. a Consiliis intimis,

Rege. Ordd. de Stella Polari nec non de S. Olavo, cum grandiori Crucis. insigni, Commendator, Regg. Ordd. de Aquila Nigra, Legionis Honoris, Ord. Imper. S. Annae in Cl. I. Eques cet.

BIOT (J. B.), Instituti Paris. Membrum.

BROWN (Robert), Juris Utr. Doctor, Reg. Societ. Scientiar. Londinens. Socius.

KRUKENBERG (Petr.), Medicinae Professor Halensis.

GRIMM (Jacob.), Professor Berolinensis, Reg. Ord. de Stella Polari Eques.

WERLAUFF, (Eric. Christian.), Regi Dan. a consiliis Conferent., Histor. Pro- fessor Hafniensis, Bibliothecae Regiae Praefectus, Regg. Ordd. de Stella Polari et Danebrog. Commendator, Legionis Honoris Eques.

MÜLLER (Joh.), Anatomiae Professor Berolinensis.

BONAPARTE (Carolus Lucian.), Princeps de Canino et Musignano. SCHULTÉN (Nathan. Gerhard A), Mathem. Professor Helsingforsiensis emeri- tus, Ordd. Imper. S. Stanislai Cl. IL et S. Wladimiri Cl. IV. Eques. ENCKE (J. F.), Astronomiae Professor Berolinensis, Reg. Acad. Scientiar. ib. in Classe Physico-Mathem. Secretarius, Reg. Ord. de Aquila Rubra

in Cl. IV. Eques.

TEMMINCK (C. J.), Musei Zoologici Leidensis Director.

BOECKH (Aug), Graec. Litt. Professor Berolinensis, Reg. Acad. Scientiar. ib. in Classe Histor. Secretarius, Reg. Ord. de Aquila Rubrain Cl. IV. Eques et de S. Salvatore Graec. Commendator.

QUATREMERE (Stephan.), LL. OO. Professor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum, Ord. Legionis Honoris Eques.

. ANDRAL, (G. Junior), Medicinae Professor Parisiensis, Membrum Instituti

Paris., Ord. Leg. Honor. Eques.

X

ESCHRICHT (Daniel Frederic), Anatomiae Professor Hafniensis, Regg. Ordd. de Stella Polari nec non Danebrog. Eques.

HANSEN (A. P.), Observatorii Astronomici Gothani Praefectus.

HAUSMANN (Joh. Fred. Ludov.), Mineralogiae Professor Géttingensis et Reg. Societatis Scientiarum ib. Secretarius.

HOOKER (Wilhelm. J.), Horti Botanici Kewensis Director.

COPLAND (Jacobus), Med. Doctor, Regiae Societatis Scientiar. Londinensis Membrum.

GRAY (Asa), Botan. Professor Bostoniensis, Societatis Scientiar. Americanae Secretarius.

LENORMANT (Carolus), Bibliothecae Imperialis Parisiensis Praefectus, Insti- tuti Paris. Membrum.

AIRY (Geo. Biddel), Astronomus Regius Londinensis.

STRUWE (Fred. W. Geo.) Director Observatorii Astronomici Pulkovensis, Status Consiliarius, Reg. Ord. de Stella Polari Commendator, Ordd. plur. Eques.

FARADAY (Michael), Professor Londinensis.

REGNAULT (Victor), Membrum Instituti Parisiensis.

OWEN (Richard.), Musei Hunteriani Londinensis Praefectus.

RANKE (Leopold.), Histor. Professor Berolinensis.

NORDENSKOLD (Nic), supremus rei Metallicae per Finlandiam Director, Ordd. plur. Eques.

LYELL (Car), Societatis Regiae Scientiarum Londinensis Socius.

FORCHHAMMER (Georg.), Mineralogiae Professor Hafniensis, Regg. Ordd. de Stella Polari Commendator et de Danebrog. Eques.

MAURY (M. F.), Director Observatorii Astronomici in Washington.

ILMONI (Immanuel), Med. Doctor et Professor Helsingforsiensis, Ord. S. Wladimiri IV. Cl. Eques.

LIEBMAN (Fred. Mich.), Botanices Professor Hafniensis, Reg. Ord. de Stella Polar Eques.

HAMMER-PURGSTALL (Joseph. von), Lib. Baro, Acad. Caesar. Scientiar. Vindobonens. Praeses, Reg. Ord de Stella Polari cet. Eques.

THIERRY (Augustin.), Instituti Paris. Membrum.

XI Socii Litterarum Commercio conjuncti.

RAFN (Car. Christian), Reg. Dan. a Consiliis Status, Professor, Reg. Societ. Antiquariorum Hafniensis Secretarius, Regg. Ordd. de Wasa Commenda- tor, de Stella Polari, Danebrog. cet. Eques.

GRETSCH (Nicol), Imp. Ross. a Consiliis Status, Academiae Scientiar. Pe- tropolitanae Bibliothecarius, Ord. S. Annae Cl. II. Eques.

MAINARDI (Caspar.), Mathes. Professor Universitatis Patavinae. LITTROW (Car. Ludov. von), Astron. Professor Vindobonensis. POGGENDORFF (J. C.), Phys. Professor Berolinensis. WEBER (Wilh.), Phys. Professor Güttingensis.

HAESER (Henr.), Med. Professor Jenensis.

SOMMER (Andr. G.), Med. Doctor et Professor Hafniensis. BLYTT (Matth. N.), Botan. Professor Christianensis.

KRÓIJER (Henr.), Zool. et Physiol. Professor Hafniensis. SCHLECHTENDAHL (F. L. von), Botan. Professor Halensis.

HOLMBOE (Christoph. Andr.), LL. OO. Professor Christianensis, Numophy- lacii Praefectus, Reg. Ord. de Stella Polari et de S. Olavo Eques.

LASSEN (Christian.), LL. OO. Professor Bonnensis.

GRUNERT (F. A.), Mathem. Professor Gryphiswaldensis.

KEYSER (Rudolph.), Histor. Professor Christianensis.

HOLBROOK (L), Hist. Nat. Professor, Charlestovniensis in America Sep- tentrionali.

THOMSON (W.), Professor Glasguensis.

SCHEERER (Th.), Metallurgiae Professor Freybergensis.

ROKITANSKY (Car.), Anat. Pathol. Professor Vindobonensis.

BERKELEY (I. M.), Botanicus Anglus.

MOLBECH (Christian.), Consiliarius Status, Hist. Litt. Professor Hafniensis , Reg. Ord. de Stella Polari Eques et Danebrog. Commendator.

PERTZ (Geo. Henr.), Bibliothecae Regiae Berolinensis Praefectus.

INDEX ACTORUM.

I. Sur les conditions d'intégrabilité de l'équation différentielle du second ordre

TORTO T$(27)—0

$n(r) désignant une fonction entière de z du degré z, par Ap. FERD. SVANBERG

IL. Novae Symbolae Mycologicae in peregrinis terris a Botanicis Danicis collectae. Recensuit ELIAS FRIES

III. De functione quadam transcendente. Auctore Cur. FREDER. LINDMAN .

IV. Mémoire sur la température de Ja terre, à différentes profon- deurs, à Upsal, par ANDR. J. guess

V. Novarum- Symbolarum Mycologicarum Mantissa. Auctore Evia FRIES

VI. Symbolae ad rem Numariam Muhammedanorum, ex Museo Regio Holmiensi edidit Carozus Jom, TORNRERG

VII. Sur l'intégration des équations différentielles de second ordre, par Ap. Bray: SVANBERG

VIII, Saxorum characteres ex praesenti Mineralogiae statu bed exponendi periculum. Auctore Jac, HENR. A FORSELLES

IX. Recherches rélatives a l'influence de la température sur le Ma- gnétisme, par CHARLES Ars. HOLMGREN

X. Phyceae novae et minus cognitae in maribus extraeuropaels

collectae, quas descriptionibus observationibusque illustravit Jon. ERHARD. ARESCHOUG à HU nc NE

XI. De disciplina et studio Litterarum Latinarum. Scripsit CARO- LUSAEBSSVAIEDRITZS. Je. 2. E RS

pag.

261.

329.

373.

SUR LES CONDITIONS D'INTÉGRABILITÉ DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE DU SECOND ORDRE

d? dy E 1) 75 ae PQ) + o$(2)—o p,(r) DÉSIGNANT UNE FONCTION ENTIERE DE z DU DEGRÉ 7 PAR

A. F. SVANBERG.

I.

Si pour briéveté on écrit $, au lieu de $,(z) et qu'on emploie la nota- tion de LAGRANGE, l'équation proposée pourra sécrire comme suit

UE CRUEL LN OE MUT E TELE as (A)

Si $, n'est qu'une fonction du second, ¢, du premier dégré et qu'en meme tems on a $4, = Constante, l'équation précédente coincidera avec celle, qui a été traitée par Mr Liouvizre* et sera intégrable par les mé- thodes quil a donnés. Ce cas suppose quon a

Ps = $;— Pi = 0; je ne traiteral par conséquent ici ce cas exceptionel aux procédés, que jirai employer pour lintégration de l'équation (1).

En différentiant (1) s fois et egalant à zéro le coéfficient du dernier

terme 7-1), on obtient pour la determination de e

e-1 :—2 z-

5 Le ; Ce UE PUE M Md

et apres la division par e eA -2 e-1 f s. —-. = zc LE - . 4 - e . . . . . 2 mia e Re (2) * Journal de l'école polytechnique. Tome. XIII. xv. 1.

2

Je nommerai dans la suite cette équation (2) la caractéristique de (1), parceque elle jouit des proprietés remarquables pour determiner ses cas d'intégrabilité. | II.

L'équation (1) peut être transformée de différentes manières sans chan- ger de forme. Puisque toutes ces transformées seront extrêmement utiles pour la recherche présente, nous commencerons par les étudier spéciale- ment. Faisons pour cet effet

ce qui donne

"pda y - (y -+ TA Ps

1 fe ol e Í œ 1 p pe, QR cH Ns pedes (HET) P

La substitution effectuée on obtient aprés avoir divisé par à *:

FERES, oe ARG

Pas" + (2 p + $2) “+{p+ +

Pour que cette équation soit de la même forme que (1), il est néces- saire que p soit une fonction entière de x du second dégré et que

p(p—gp, +p) soit divisible par $4 . . . . . . . . . (&

Cela peut se faire de différentes manières, entre lesquelles la suivante est la plus simple

P = Ps $23 elle donne far

TPS CAEN VIE T D E VS MERECE a > paz T ps = p) s --(9;— D, -$))g—o . . - . . . ©)

Il.

On peut encore satisfaire à la condition (4) en fésant

treten niue, e s PRSE RO ND LC G ? 2». (7)

æ étant une des racines de l'équation

Par) = 9

et À une constante, qui devra être déterminée de manière que p p, +9, soit divisible par z—«

Par conséquent

APS ETES

TY- sévanouira avec z =; ce qui donne

pun e REOR ON ANRT | HO) K 0 et la transformée meted +o, Em NM E uc (9) Ps a Par Ps(e)(r-a) ^ spa) | a4 faf) E. (z-a)? aA Gr mA z-4 ! ou pour brievete on à fait B. _ 27) © eee) IV.

Une derniere maniere a remplir la condition (4) consiste a faire

pP—%tm=— A. A

27 la constante 4 devant être determinée de manière que

95 / eie EL CIE T-A sévanouisse avec z =e. Cela donne

Po Q) =1 b(a)

pa(c) p= p 4.7 D sy a et la transformée o= 95%" + (29,9, 24 7) Timer MM MA (11) ous. 9; ai ness As =) JO [MEAT VE ro ati nu stia. 2y V.

Dans le cas spécial l'équation y,(x)—o a deux racines égales et

A

4 , qui soit encore une racine de ¢,(7) =o on aura identiquement / 95 (2) o ; p,a =0 5 p(2)= 0

La supposition de

pak. qui donne PP % +92) =F. Ge Iy gu CUT:

fait donc voir, que la condition (3) sera remplie it même , quel que soit k, parceque

9 dors p T Fa

sevanouit avec z=«, La substitution dans (3) donne

eos (EP En )s + NON MD UCM S. (t

95 V 9 ko; p h(s A y = X-0 (z-a) Y-a T-u Puisque 7 peut ètre quelconque, on peut le déterminer de manière, que le coéfficient de + devienne divisible par z—«. Il devra par consequent s'évanouir avec z= a«a; ce qui donne * es) + (2 a0) o5) ) + 2e (2) = 0 L'équation "i divisée par le facteur commun z-a pourra ensuite être intégrée d'après la méthode de Mr Lriovvirrx.

Le cas d'intégrabilité, que je viens d'analyser, est le méme, que ce- lui qui a été traité deja par Eurer qui s'en est occupé dans plusieurs mé- moires.

VI.

Si quelqu'une des équations (1), (6), (9) ou (11) est divisible par z-« , elle coincidera aprés la division par ce facteur avec l'équation traitée par Mr. Liouvizze. Dela on tire les conditions dintégrabilite

NA; pale) = o et g,(«)—o AG 2; : 2 pla) p(u) —o

ese) ge) + 43(4) = o Il est à remarquer que dans le premier cas les équations (1) et (11) et dans le second les équations (6) et (9) seront divisibles par z —«.

VII.

Les équations différentielles du second ordre sont encore intégrables, si le coëfficient du dernier terme est identiquement égal à zéro; mais les conditions, qu'on en tire, ne sont que des cas spéciaux d'autres cas beau- coup plus généraux, que je vais maintenant considérer.

La forme de ces équations laisse prévoir, quil suffira de connaitre une valeur spéciale, excepté zéro, qui leur satisfait pour en déduire l'intégrale complete. Si p. ex. P est une telle valeur spéciale de y, qui satisfait à léquation (1), la substitution de y= P/udx donnera une transformée li- néaire du premier ordre en v, qui sera integrable par les méthodes connues. Toute la difficulté étant ainsi réduite à chercher des intégrales particulières, nous irons nous en occuper maintenant et chercherons à déterminer les con- ditions, qui doivent exister pour que cette intégrale soit une fonction algé-

brique et entière de x.

Faisons pour cela dans (1)

i E A oz me ND na a ee cone VAUX Comme la substitution doit donner un résultat identiquement =o, on en ürera un nombre m +2 d'équations entre les m, A,, 4, .... A, dont le

nombre est m--1. Le coéfficient de 2"*' égalé à zéro donne pour dé- /

terminer m

m m-i m j : * À TO dn cod TS a QS 9 3 3 9 Pa | Pi ( ) En comparant cette équation avec (2) on voit que iR g-— |

Il suffit évidemment pour que la substitution proposée réussisse, que » soit un nombre entier positif et de plus que l'équation de conditition, qu'on obtient après l'élimination des m quantités 4,,.... A, entre les m+1 équations restantes, soit identiquement nulle.

Essayons mainténant dans (6) la substitution

CD AR Rte Te D, on trouvera pour déterminer z n+3 n+2 m n+2 ? l iur c ata (peccet edt eps =O Lcd GRO e ES (14) 9 3 3 9 95 iis Pi et delà n= Å cz

6

Ici aussi il y a deux équations de condition, qui doivent être rem- plies pour que la substitution proposée reusissira, dont l'une est n= nombre entier positif ; l'autre s'obtient par l'élimination.

Les conditons trouvées, à savoir m ou 2 entiers et positifs, peuvent être exprimées uniquement par s = nombre entier positif ou négatif, excepté o. Il séroit à désirer qu'on pourroit expruner l'autre condition dans des termes également généraux, mais je n'y entrevois pas de moyen.

VIII. Faisons maintenant dans (9) pw rr p Sau kek: + Car + C, il viendra pour déterminer p pr4 prat M L Qn sa Ve CONS 2 3 2 Cette équation comparée avec (2) donne e—1 = p + À ou bien à cause de (8) p=e—2 + l(a) En fésant dans (11) z A E D Ea o o o SE Int e D on trouve de même pour déterminer g a qoe Eg to. + a

x delà î e—1—=—qg—2+ A

ce qui donne enfin

gs (2) p q doivent ètre des nombres entiers et positifs. On voit que cela ar- rivera toutes les fois que s -- 4(«) est un nombre entier positif ou négatif, excepté = +1.

Soient «, B et y les racines de l'équation p,(x) =o, on aura en de-

composant la fraction me) 3

aula) Ke) | B) | D

CN CE NCA CC"

an

@

La première condition d'intégrabilite trouvée dans ce numéro-ci pourra être exprimée comme suit. Une quelconque des numérateurs Ila), 0() ou Oy) jointe à une quelconque des racines de la caractéristique doit étre un nom- bre entier positif. ou négati if (seulement excepté —+1). Il est à regretter qu'on ne saurait exprimer l'autre équation de condition, résultante de l'éli- mation, dans des termes également généraux.

IX.

Les cas d'intégrabilité, que nous avons analysés jusq'ici, supposent tous, comme vous venons de voir, deux conditions nécessaires, pour que l'intégration réussira. Nous allons maintenant discuter d'autres cas, qui n'entrent pas dans les précédents, quoique ils supposent en effet quatre conditions. Mais comme cela ne les empeche pas de jouir d'une certaine simplicité, ils semblent mériter toute attention possible.

Désignons en général une quélconque des équations (1), (6), (9) et

(11) par i JA QURE GE E E E A E et faisons la transformation Ga ADAE Op dr,

¢ étant la nouvelle variable indépendante, P et 7 des fontions inconnues de x, quil sagit de déterminer de manière, que l'équation résultante entre

u et £ devienne intégrable. Soit de plus P’ = i et 7 = a d'après la no- tation de LAGRANGE; la différentiation donnera R - i JL ye = £ 2 + x P me PS nx pu

Aprés avoir fait la substitution dans (17) on obtient la transformée

fP 2+ lg PA PA —APLYS

Mis Co =a d

8

Déterminons maintenant P et n de manière qu'on ait

CERT yey aio ey Oh oe) i s (cs fst fal fab) = REP . . . . D EEEUED A étant une constante quelconque; on aura LE NE L'équation (18) donne et Jio E ?] Jf

d'ou l'on tire par jS d dx log n = 2 log P+ Jeu g PE

et delà enfin

fa 0 il qo PLEO Ooo ee au moyen de quoi l'équation (19) deviendra *fodx 72 / VERS : ts (P +foP CD M s 3

Cette derniére équation differentée donne ensuite o— JERNE SPP") + Bf, f, (EP P?) + UC EAP) Qf - £2) PP + fit RA fif) P

dou en fésant

2 MEE EU. TER

il viendra i F3 WA fs f, Q" + UC kf) Qf. - f£)

AEWA 519. qo x D OE

Il suffit évidemment de connaitre une intégrale particulière de cette e- quation; car (21) et (22) donneront des valeurs correspondantes de P et de », lesquelles on pourra employer dans la substitution, qui donnera en- suite la transformée (20).

X.

Considerons d'abord le cas suivant

crue o MH piv

Dans ce cas l'équation (23) séra divisible par f, et deviendra

F OFS AF ETOR +2f0 ao... ss (5)

9 Or on satisfait à cette equation en prenant QU zu mN t tr n PER a Ed et déterminant u, E, ..... E, convenablement; car la substitution dans

(25) devant être identiquement = o donnera m +1 équations, qui suffisent pour les déterminer complétement. Le coëflicient de x" égalé à zéro donne n E į Ee J” tèn. Kal 3^ + ce HAF) utH2f =o 2 3 2 2 ou bien fa". (Ew Han) +24. (eg) = 0 Puisque p doit être un nombre entier et positif, l'équation précédente pourra être débarrassée de son facteur 4 + +; d'où il résulte

BE... ee @

mm

3 L'équation (24) devant être identiquement satisfaite suppose tacitement, puisque elle est du second dégré en x, trois relations entre les coéfficients de la proposée. La quatriéme condition est plus générale et suppose seu- lement que u dans l'équation (26) soit un nombre entier et positif quelconque.

XI. En fesant coincider l'équation (17) successivement avec chacune des (1), (6), (9) et (14) on obtient ces nouveaux cas d'intégrabilité

1. Pa = 3$; MILD = 0 s DM z E A ps à 239,224. s

u. pH F4(4—0 4124 E poti = 0

Comme on a par (8) Pac) up p Pa(æ) la première équation donnera en y fésant x = z

1— 4A=1—9 4

2

XY.

1 d MNT. U

10

d'ou l'on tire

a il |

w|

et delà p?

x-4

pi A,

Pz

$,-—39;--

Mei 36 T + 2h 3

Mais on obtient par differentiation

ul. 4+2 494 71 = À

4 Pr = 3 p, 2A Ps. v= pT +E (2-4) 0-4) +12. (4-9) B EUR en 3 3

En fésant v « dans la première de ces équations il vient jum 4 390€ 4

ce qui donne A1 2

De plus on trouve par differentation PE em dou il resultera enfin, toute substitution faite,

4 P; X-0 / 249i p m 3

Pour tous les quatre cas, que-nous avons considérés dans ce para-

H-2. u+3 +

graphe, on a de plus

E PINNAE" Ez .::T.. mE DIEM i | n= (rp Er . + EL TEE y o ^

XII.

Considérons maintenant le cas suivant

PAT OPM 006 ute ao Urdu CT

l'on pourra prendre Q LI P == 1 Puisque f, Ja et sont des fonctions entières, l'équation précé- dente ne sauroit être satisfaite à moins qu'on ait

T Ces cc cue Mn e EG)

Après la substitution de cette valeur dans l'équation (27) on obtient

jo eic PAR taa M din un gei (00)

v-

Dela on voit que l'équation (27) entraine nécessairement les deux sui- vantes

fil=o et AeA

et que ce cas-ci rentre dans celui, que nous avons considére dans le para- graphe VI.

Nil. Faisons dans l'équation (23) E D = fir. ron :

Td Gs 4 Xn)

RN pe He RENE R)

il viendra

indes rho RR /

NC SS

Q "n

ce qui donne la transformée

d dU RAN du su cour | QU) (Gf E 3 QE? RS) ANGES HP) +h Ch FR

po we LP 2f. 2/2) + f+ JV VE ©) 2) | `A V GU AL HS) +28 Si v TG -65)

Comme ^ reste arbitraire on pourra prendre

ou moyen de quoi l'équation (30) deviendra

12

SER! F 3P Pe R FIRES 2Sa ASD TAO S R CR SI T S a a Sig dS RE 0 - SD On satisféra à cette équation par R—1, si l'on a OT + RAS Eas J) PME ou ce qui est la méme chose

DO) a fis: =o) NUI a) (Uo eU SEN Cette équation étant une différentielle complette donne par l'intégration 9 f. (fa za 2h) = Ss =S) AE

en designant par B? la constante arbitraire.

Puisque f, est une fonction du troisième, f; /;--2/, du premier et f| f,--.B du second dégre en x léquation précédente ne saurait étre satisfaite à moins qu'on ait

yo SO TCR NN NR dec C. (fs fi B) CS —fitb8fy(z—o) .... QU C étant constante et a une racine quelconque de l'équation f(x) =o

En différentiant (33) et (34) deux fois on obtient

RACER... EM e nenen TD E See C (S-S) =C -Fl -Sa FEIXES A Sa + BF... CD "p ELLE ee

Si l'on fait z « dans les six équations précédentes, on voit qu elles suffisent pour déterminer B, C et les quatre relations qui doivent e- xister, pour que l'équation (32) soit identiquement satisfaite.

On trouve ensuite

f2 QU m M nde

^f =f; . XIV.

En fésant coincider (17) avec (1) ou (6) l'équation (32) ne donnera que

13

le seul cas d'intégrabilite, que nous allons considérer maintenant.

Pour cela soit Sis = 9$ , SP, , Jr =O